特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

[tex:1 + 1 = 2]

コンパクト空間上の実数値連続関数は最大値をもつ?

追記

台集合Sが空でない場合は以下の記載で間違いなさそうです。

@yamyam_topoさんいわく、開集合を用いた公理で台集合を空でないものとするのは今日においてメジャーな慣習ではないそうです。知らなかった・・・。

 

今回の元ネタはこちらです。

どこが誤りであるかはこの続きに書きます。

どうぞ考えてみてください。

 

解答

 

空集合はコンパクトでしたね・・・。まったく気づきませんでした。この時は「あぁそうか~」と納得したのですが、松坂位相を読み返すと何か少しもやもやしてきたのでこの記事を書いた次第です。

 

私のモヤモヤ

最大値・最小値の定理について復習しましょう。

最大値・最小値の定理

f:S \Rightarrow Rをコンパクトな位相空間S上で定義された実連続関数とすれば、\\ その値域f(S)には最大値および最小値が存在する。

さっきの解答を受けて、この定理は(この書き方だと)成り立たないのだなぁと思っていたのですが、よくよく考えたところ成り立つのではないかと思いました。

 

まず位相空間の開集合を用いた公理では、台集合を空でないものとしています。そのため、上記の書き方の場合、Sが空であることはないと思います。

 

ではどう書けばアウトなんでしょうか。

位相空間Sの部分集合Mがコンパクトであるとは、相対位相に関してMがコンパクトな位相空間となること、\\すなわち、Mの任意の開被覆が必ずMの有限被覆を含むことをいう。

この記述に従えば、ある位相空間Sを考え、その部分集合を考えたときに空集合Mがコンパクト位相空間になりそうです。何だかここまで書いて、書き方や解釈の問題な気がしてきました。

 

一般に位相空間Sの~と言われたときにSが空である場合を考えるものなのでしょうか。ご意見お待ちしております・・・。

 

参考文献

[1] 『集合・位相入門』(松坂)