特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

[tex:1 + 1 = 2]

ある距離空間の部分集合が全有界であるということ

いろいろと混乱していたのでまとめます。

 

記号

(S, d) : 1つの距離空間。以下ではSと略記する。

N(a;\varepsilon) := \{x \in S \ | \ d(a, x) \lt \varepsilon\}

 

定義Sの部分集合Mが全有界であるとは、任意の正数\varepsilonに対して、Sの有限個の点x_1, \cdots , x_nを選んで、$$M \subset N(x_1;\varepsilon) \cup \cdots \cup N(x_n;\varepsilon)$$が成り立つことである。
 
MSにおける有限被覆でしかも\varepsilon被覆が存在する、ということです。
また、一般的な全有界の定義と『集合・位相入門』(松坂)での全有界での定義が同値であることは後程まとめます。