特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

[tex:1 + 1 = 2]

これは全有界と同値な事実?

追記

解決しました!

gelato-con-caffe.hatenablog.com

 

 

『集合と位相』(内田伏一)を読んでいて疑問が生まれました。

 

記号

(X, \mathfrak{D}) : コンパクト位相空間

C(X) : X上の実数値連続関数の全体の集合

S : C(X)の部分集合

\varepsilon : 任意の正数

d(f, g) : C(X)上の距離関数

N(f ; \varepsilon) = \{g \in C(X) | d(f, g) \lt \varepsilon\}

 

問題の箇所①

\overline{S}が全有界であるから、任意の正数\varepsilonに対して、C(X)に属する有限個の元f_1, \cdots f_nを選んで、

$$\overline{S} \subset N(f_1 ; \dfrac{\varepsilon}{3}) \cup \cdots \cup N(f_n ; \dfrac{\varepsilon}{3})$$

 あれ、等号じゃない・・・。でも等号が成り立てば部分集合でもあるから\subsetがついてもおかしくはないか。

 

問題の箇所②

~が成り立ち、よって

$$\overline{S} \subset N(f_1 ; \dfrac{\varepsilon}{3}) \cup \cdots \cup N(f_n ; \dfrac{\varepsilon}{3})$$

が成り立つ(一部略)。ゆえに\overline{S}は全有界である。

えっ・・・。包含することから等号が導けるの・・・?松坂位相を見直して\varepsilon網が少し近いような気もしましたが、やっぱり違うっぽいです。

 

これは全有界であることと同値な事実なんでしょうか。

だとすればどのように示されるのでしょうか。