特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

[tex:1 + 1 = 2]

集合の濃度の基本性質

この記事では以下の定理を証明する。

定理

集合Aから集合Bへの全射写像があれば,|A| \geq |B|である.

証明.

f:A \rightarrow B全射とする。仮定より、Bの各元bに対してA_b = \{a_b | f(a_b) = b\}は空でない。このとき,各A_bから代表元を1つ取ることができ(Bが無限集合の場合,選択公理を用いる)、それをa_bとすれば、g(b) = a_b単射となる。実際、b, b' \in B, g(b) = g(b')とすれば、あるa_b \in  Aが存在して、f(a_b) = b = b'である。Q.E.D