特急すぺーしあ

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アスコリ・アルツェラの定理が分からん

追記(2018/7/2) ②に進捗状況を追記しました。

 

アスコリ・アルツェラの定理の証明を追っています。途中経過を以下にまとめます。

 分からん①→解決しました!

以下の記事を元に定理の証明を追っているのですが、

http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/ms/111202ms.pdf

同記事の定理の証明(1)' \Rightarrow (2)の、

x_0 \in Xとし、x_0の近傍U

$$U = \displaystyle\bigcap_{i = 1}^m \{x \in X ; |g_i(x) - g_i(x_0)| \lt \dfrac{\varepsilon}{3}\}$$

により定める。

ここで、 g_iX上の実連続関数です。分からん。近傍・・・?

INTEGERSの

integers.hatenablog.com

での同程度連続の定義はx毎にxの開近傍がとれて~とあります。

$$\{x \in X ; |g_i(x) - g_i(x_0)| \lt \dfrac{\varepsilon}{3}\}$$

がそれぞれ開集合ということなんだろうか。

 

分からん②

追記

 何とかここを回避できないかと無為な調査をしたところ、回避不能なことが判明しました。

グリーン・タオ論文の§7を読む(その二) - INTEGERS

この証明中にd-次元ユークリッド空間バージョンの結果が使われています。仕方ない。

 以下のPDFに載っている結果は所望の場合を含んでいるように思われます。

http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/Ascoli.pdf

未だ下記のwikiの記述が理解できていないため、C(X, \mathbb{R}^d)がバナッハ空間であることを理解した上で、上記のPDFを理解するという作戦もあるような気がしました。とにかく応用が苦手で辛い!

 

同じくINTEGERS同記事のアスコリ・アルツェラの定理のステートメントでの連続関数空間の終域はR^nとなっています。今追っている証明をフォローした上で、さらに一般化されたバージョンの証明もフォローする必要があります。そうなのですがwikiによると

アスコリ=アルツェラの定理は、より一般に、d-次元ユークリッド空間\mathbb{R}^dに値を取る函数f_nに対しても成立し、その証明は非常に簡潔である。すなわち、\mathbb{R}-値の場合の結果をd回適用することで、第一座標において一様収束する部分列を選び、その中から第二座標において一様収束する部分列を選ぶ、という手順を繰り返せばよい。上述の例は、ユークリッド空間に値を取る函数の場合に対しても容易に一般化される。

何を言っているんだ。先日国立国会図書館ジュンク堂に行って片っ端からこの定理が載っている本を探しましたが、この話題について取り扱っている本はありませんでした。定義や定理が身についている人にとっては明らかなんでしょうか。

 

どうしよう。とりあえず線型代数やろう。時間を置いてまた挑もうかな。