特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

イェンゼンの不等式を用いた重み付き相加相乗平均の不等式の(ざっくり)証明

1.重み0の場合は両辺に影響を与えないため、重みはすべて正であるものとして考えてよい。

 

2.すべてのx_kが等しい場合は、自明に等号が成り立つ。したがって、すべてが等しくない場合を考える。

 

3.いずれかのx_k0である場合は加重相加平均は正、加重相乗平均はtex:0]。したがって不等式が成り立つ。よって以下では各x_kは正であるものとする。

 

4.f(x) = -\log{x}とすれば、f''(x) = \dfrac{1}{x^2} \gt 0であるから、f(x)真に下に凸であるから、(等号無しでの)イェンゼンの不等式が適用でき、式を整理することで(等号無しの)不等式が成り立つ。

 

参考文献というかほぼ引用元

Inequality of arithmetic and geometric means - Wikipedia