特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

[tex:1 + 1 = 2]

ミンコフスキーの不等式、あるいは斉次式への理解

追記

解決しました。

\dfrac{x_k}{\alpha}, \dfrac{y_k}{\beta}は実数全体を渡る→渡りません

 

本当に分かる人が見れば自明なのでしょうが、以下のようなことでしばらく悩んでしました。

 今回の教科書

mathtrain.jp

該当の箇所

ステップ2:ヘルダーの不等式の証明

x_i, y_iについての斉次式なので||x||_p = ||y||_q = 1の場合について証明すればよい。

何故それで充分なのかが長いこと分かりませんでした。

 

現在得た理解

||x||_p = 1, ||y||_q = 1の場合のすべてのx, y \in \mathbb{R}^nついて証明されているとする。||x||_p = \alpha \gt 0, ||y||_q = \beta \gt 0の場合、\Biggl \Vert \dfrac{x}{\alpha} \Biggr \Vert_p = 1, \Biggl \Vert\dfrac{y}{\beta}\Biggr \Vert_q = 1であるから、

$$\displaystyle\sum_{k = 1}^n \Biggl \vert \dfrac{x_k}{\alpha}\dfrac{y_k}{\beta}\Biggr \vert \leq \Biggl \Vert \dfrac{x}{\alpha}\Biggr \Vert_p \Biggl \Vert\dfrac{y}{\beta}\Biggr \Vert_q$$

も成り立つ。

ここで、\dfrac{x_k}{\alpha}, \dfrac{y_k}{\beta}は実数全体を渡るから、||x||_p = 1, ||y||_q = 1の場合についてのみ証明すれば十分である。

両辺を\alpha\beta倍すれば、 

$$\displaystyle\sum_{k = 1}^n \vert x_ky_k \vert \leq \Vert x \Vert_p \Vert y \Vert_q$$