特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

[tex:1 + 1 = 2]

これは本当に距離関数?

解決しました。

 

教科書に載っていた距離関数の例に納得がいきませんでした。そういうわけでまとめます。しかし冷静に考えると長い間読み継がれてきた本なのにこんな間違いがあるはずが・・・。きっと私が凡ミスをしているのでしょう。

それでは復習します。今回問題になるのは(3)だけなのですが。

定義

Sを1つの空でない集合とし、dをSで定義された2変数の実数値関数、\\すなわちS \times Sから\mathbb{R}への写像で、次の4つの条件(1)-(4)を満たすものを距離関数という。\\ (1) 任意のx, y \in Sに対してd(x, y) \geq 0.\\ (2) x, y in S に対し、d(x, y) = 0であることとx = yであることは同値である.\\ (3) 任意のx, y \in S に対してd(x, y) = d(y, x).\\ (4) dは三角不等式を満足する.
 
以下『集合・位相入門』(松坂和夫)から引用します(一部省略&改変)。

Xを空でない任意の集合とする.Xで定義された実数値関数fで, 値域f(X)がRの有界部分集合となるものを, \\X上の有界実数値関数という. X上の有界実数値関数の全体をSと表す.いま, Sの2つの元f, gに対して

$$d(f, g) = sup{|f(x) - g(x)|;x \in X}$$

と定義する. このように定義されたd:S \times S \rightarrow Rは, S上の距離関数である.

 
私はこの例は距離関数にならないのでは?と思ったんですね。具体的には定義の(3)を満たさないように思いました。f \neq gのとき, d(f, g) = 0である例を構成します。
 
X = (0, 1), f(x) = 2x, g(x) = xとすれば、f \neq gですが、
$$d(f, g) = sup\{|f(x) - g(x)|;x \in X\} = sup\{|x|;x \in (0, 1)\} = sup\{x;x \in (0, 1)\} = 0$$
となり、(3)を満たしません。
 
どこが間違っているでしょう・・・。
 

追記

$$sup\{x;x \in (0, 1)\} = 1$$
だよ!