特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

第4分離公理と同値な命題

この記事で以下の位相空間Sに関する2つの命題(T_4), (T_4)'

(T_4) \ A_1 \cap A_2 = \phiであるようなSの任意の閉集合A_1, A_2に対して、

$$A_1 \subset O_1, A_2 \subset O_2, O_1 \cap O_2 = \phi$$

となる開集合O_1, O_2が存在する。

 

(T_4)' \ AがSの閉集合、OがSの開集合で、A \subset Oならば、

$$A \subset O_1, \overline{O_1} \subset O$$

を満たす開集合O_1が存在する。

が同値であることを証明します。

 証明.

『(T_4) \Rightarrow (T_4)'』

AS閉集合OSの開集合かつA \subset Oとする。このとき、S - O = O^c閉集合であり、A \cap O^c = \phiである。よって(T_4)より、

$$A \subset O_1, O^c \subset O_2, O_1 \cap O_2 = \phi$$

を満たす開集合O_1, O_2が存在する。O^c \subset O_2よりO_2^c \subset O。また、O_1 \cap O_2 = \phiより、

$$\overline{O_1} \cap O_2 = \phi$$

$$\overline{O_1}^c \cup O_2^c = S$$

$$\overline{O_1}^c = S - O_2^c$$

$$\overline{O_1}^c = O_2$$

$$\overline{O_1} = O_2^c$$

以上よりO_1 \subset Oである。

 

『(T_4)' \Rightarrow (T_4)』

Sの2つの閉集合A_1 \cap A_2 = \phiを満たすA_1, A_2を任意にとる。いま、O = A_2^cとすれば、Oは開集合かつA_1 \subset O。よって(T_4)'より、

$$A_1 \subset O_1, \overline{O_1} \subset O$$

を満たす開集合O_1が存在する。このとき、\overline{O_1} \subset O = A_2^cより、

$$\overline{O_1} \subset A_2^c$$

$$A_2 \subset \overline{O_1}^c$$

\overline{O_1}^c = O_2とすれば、O_2は開集合であり、明らかにO_1 \cap O_2 = \phiである。