特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

正規空間は正則空間である

この記事では掲題の事実を示します。

証明.

Sを正規空間とし、Sの点x閉集合Ax \notin Aを満たすものとする。第1分離公理より\{x\} = \overline{\{x\}}。すなわち、\overline{\{x\}} \cap A = \phi。第4分離公理より、

$$\overline{\{x\}} \subset O_1, A \subset O_2, O_1 \cap O_2 = \phi$$

を満たす開集合O_1, O_2が存在する。ここで、

$$x \in \{x\} = \overline{\{x\}} \subset O_1$$

であるからSは第3分離公理を満たす。よってSは正則空間である。Q.E.D

 

また、以下の記事

gelato-con-caffe.hatenablog.com

の結果より、

$$正規空間 \Rightarrow 正則空間 \Rightarrow Hausdorff空間$$

である。