特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

正則空間はHausdorff空間である

この記事では掲題の事実を示します。

 証明.

Sを正則空間とし、Sの任意の相異なる2つの点をx, yとする。

このとき、第1分離公理より\{y\}閉集合である。明らかに、

$$x \notin \overline{\{y\}}, y \in \overline{\{y\}}$$

であるから、第3分離公理より、

$$x \in O_1, \overline{\{y\}} \subset O_2, O_1 \cap O_2 = \phi$$

となる開集合O_1, O_2が存在する。このとき、

O_1xの開近傍、O_2yの開近傍である。すなわち、SはHausdorff空間である。Q.E.D