特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

この集合は位相となる

この記事では以下の命題を証明します。

命題

(S, \mathfrak{D})を1つの位相空間とし、Sと略記する。x_{\infty}をSに含まれない点とし、S^{*} = S \cup \{x_{\infty}\}とする。\\ また、Sのコンパクトな閉部分集合全体の集合を\mathfrak{U}_0とする。ただし、\mathfrak{U}_0には空集合\phiを含める。ここで、 $$\mathfrak{D}_{\infty} = \{O \ | \ S^{*} - O \in \mathfrak{U}_0\}$$ $$\mathfrak{D}^{*} = \mathfrak{D} \cup \mathfrak{D}_{\infty}$$ とするとき、\mathfrak{D}^*はS^{*}における位相となる。

 証明.

『\phi \in \mathfrak{D}^*かつS^* \in \mathfrak{D}^*』

 S^* - S^* = \phi \in \mathfrak{U}_0より、\phi \in \mathfrak{D}_{\infty} \subset \mathfrak{D}^*。

また、\phi \in \mathfrak{D} \subset \mathfrak{D}^{*}。

 

以下、定義から明らかであるこの事実を用いる。

事実

$$\tag{☆}O \in \mathfrak{D}^* \Rightarrow O - \{x_{\infty}\} = O \cap S \in \mathfrak{D}$$

 

また、次の2つの定理を証明無しに用いる。

定理1

位相空間Sの有限個の部分集合M_1, \cdots ,M_nがいずれもコンパクトならば、M_1 \cup \cdots \cup M_nもコンパクトである。

 

定理2

位相空間Sがコンパクトならば、Sの任意の閉集合Mもコンパクトである。

 

『O_1 \in \mathfrak{D}^*, O_2 \in \mathfrak{D}^* \Rightarrow O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{D}^*』

3つのパターンに分けて示そう。

O_1 \in \mathfrak{D}, O_2 \in \mathfrak{D}ならば、O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{D} \subset \mathfrak{D}^*。

O_1 \in \mathfrak{D}, O_2 \in \mathfrak{D}_{\infty}ならば、O_1 \cap O_2 = (O_1 \cap S) \cap O_2 = O_1 \cap (S \cap O_2) \in \mathfrak{D}(最後に(☆)を用いた)。

O_1 \in \mathfrak{D}_{\infty}, O_2 \in \mathfrak{D}_{\infty}ならば、定理1および定理2より、(S^* - O_1) \cup (S^* - O_2) \in \mathfrak{U}_0

このとき、(S^* - O_1) \cup (S^* - O_2) = S^* - (O_1 \cap O_2)より、O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{D}_{\infty} \subset \mathfrak{D}^*。

 

『\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathfrak{D}^*(O_{\lambda} \in \mathfrak{D}^*, \Lambdaの濃度は任意)』

O_{\lambda} \in \mathfrak{D}となるような\lambdaの任意個数の和は\mathfrak{D}に含まれるから、

\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathfrak{D}_{\infty}(O_{\lambda} \in \mathfrak{D}_{\infty}, \Lambdaの濃度は任意)

を示せばよい。いま、

S^* - \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} = S - \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} \Biggl (O_{\lambda} - \{x_{\infty}\} \Biggr ) = S - \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} \Biggl (O_{\lambda} \cap S \Biggr ) = \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} \Biggl (O_{\lambda} \cap S \Biggr )^c

2番目の等号で(☆)を用いた。ここで(☆)より、O_{\lambda} \cap S \in \mathfrak{D}であるから、(O_{\lambda} \cap S)^cS閉集合である。したがって位相の定義より、\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} \Biggl (O_{\lambda} \cap S \Biggr )^cS閉集合である。定理2より、\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} \Biggl (O_{\lambda} \cap S \Biggr )^cはコンパクトであるから\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda} \Biggl (O_{\lambda} \cap S \Biggr )^c \in \mathfrak{U}_{0}。

以上の変形を踏まえると、\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathfrak{D}^*が示された。