特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

部分集合とコンパクト性2

この記事では以下の定理を証明します。

定理

位相空間Sの有限個の部分集合M_1, \cdots , M_nがいずれもコンパクトならば、M_1 \cup \cdots \cup M_nもコンパクトである。

 証明.

M_1 \cup \cdots \cup M_nSにおける任意の開被覆(O_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}をとると、

$$M_1 \cup \cdots \cup M_n \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda}$$

が成り立つ。このとき、(O_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}は各M_i(i = 1, \cdots , n)Sにおける開被覆であるから、以下の記事

gelato-con-caffe.hatenablog.com

の命題より、(O_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}は各M_i(i = 1, \cdots , n)Sにおける有限被覆(O_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda_i}(i = 1, \cdots , n, \Lambda_iは\Lambdaの有限部分集合)を含む。すなわち、

$$M_1 \cup \cdots \cup M_n \subset \Biggl (\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda_1} O_{\lambda} \Biggr ) \cup \cdots \cup \Biggl (\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda_n} O_{\lambda} \Biggr)$$

が成り立つ。故に、再び上の記事の命題によりM_1 \cup \cdots \cup M_nはコンパクトである。Q.E.D