特急すぺーしあ

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部分集合とコンパクト性

この記事では以下の命題を証明します。

命題

位相空間Sの部分集合Mがコンパクトであるためには、次の(C)が成り立つことが必要十分である。\\(C) \ MのSにおける任意の開被覆はMのSにおける有限被覆を含む。

 証明.

 『Mがコンパクト \Rightarrow (C)』

MSにおける任意の開被覆(O_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}(O_{\lambda} \in \mathfrak{D})をとる。すなわち、

$$M \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda}$$

が成り立つ。このとき明らかに、

$$M = \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} \Biggl (O_{\lambda} \cap M \Biggr )$$

であり、右辺はM開被覆である。よって、右辺はMの有限被覆を含むから、

$$(O_{\lambda_1} \cap M) \cup \cdots \cup (O_{\lambda_n} \cap M) = M \ $$

また、明らかに、

$$M \subset O_{\lambda_1} \cup \cdots \cup O_{\lambda_n}$$

である。以上で(C)が示された。

 

 『(C) \Rightarrow Mがコンパクト』

Mの任意の開被覆(O^M_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}(O^M_{\lambda} \in \mathfrak{D}_M)をとる。開被覆の定義より、

$$\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O^M_{\lambda} = M \ $$

また、先ほどと同様に

$$\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} \Biggl (O_{\lambda} \cap M \Biggr ) = M \ $$

が成り立つ。このとき明らかに、

$$M \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda}$$

であるから(C)より、

$$M \subset O_{\lambda_1} \cup \cdots \cup O_{\lambda_n}$$

が成り立つ。このとき明らかに、

$$M = (O_{\lambda_1} \cap M) \cup \cdots \cup (O_{\lambda_n} \cap M)$$

である。以上よりMはコンパクトである。

 

以上で命題が示された。Q.E.D