特急すぺーしあ

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コンパクトと有限交叉性

この記事では以下の命題を証明します。

命題

(C)' \Rightarrow (C)が成り立つ。\\ \ \ (C) \ \ \mathfrak{U}をSの任意の開被覆とする。そのとき、\mathfrak{U}から適当に有限個の集合を取り出して、\\それらの有限個の集合から成る集合系\mathfrak{U}'がすでにSの被覆になるようにすることができる。\\ \ \ (C)' \ \ \mathfrak{X}をSの閉集合から成り、しかも有限交叉性をもつ任意の集合系とすれば、\bigcap \mathfrak{X} \neq \phi。

証明.

\mathfrak{U}Sの任意の開被覆\mathfrak{X} = \{X^c | X \in \mathfrak{U}\}とする。開被覆の定義より、\bigcup \mathfrak{U} = Sであるから、\bigcap \mathfrak{X} = \phi(C)'および\mathfrak{X}閉集合から成ることから、\mathfrak{X}は有限交叉性を持たない。すなわち、\mathfrak{X}の有限部分集合\mathfrak{X}'が存在して、\bigcap \mathfrak{X}' = \phiが成り立つ。このとき、\bigcup \mathfrak{U}' = S(\mathfrak{U}' \subset \mathfrak{U})である。Q.E.D