特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

初等開集合と基本近傍系

以下が成り立つ。

事実

位相空間の族(S_{\lambda}, \mathfrak{D}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}の直積空間を(S, \mathfrak{D})とする。x = (x_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}をS = \displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda} S_{\lambda}の任意の1点とするとき、\\xの基本近傍系として、 $$\tag{*}\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n} pr_{\lambda_{i}}^{-1}(V_{\lambda_i}) = \Biggl ( \displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda - \{\lambda_1, \cdots , \lambda_n\}} S_{\lambda} \Biggr ) \times V_{\lambda_1} \times \cdots \times V_{\lambda_n}$$ の形の全体の集合をとることができる。\\ただし、\lambda_1, \cdots , \lambda_nは\lambdaの相異なる元、V_{\lambda_i}はS_{\lambda_i}におけるx_{\lambda_i}の近傍である。

 理由.

一般に位相空間(S, \mathfrak{D})の部分集合VSの点xの近傍であるとは、

$$O \subset V, x \in O$$

を満たすSの開集合Oが存在することと同値である。

これを踏まえて、まず、(*)の形の集合がSにおけるxの近傍になることを確認しよう。

(*)の形の集合の各V_{\lambda_i} \ (i = 1, \cdots , n)について、

$$x_{\lambda_i} \in (V_{\lambda_i})^{\circ} = ( (V_{\lambda_i})^{\circ})^{\circ}$$

が成り立つから、

$$\tag{**}\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n} pr_{\lambda_{i}}^{-1}((V_{\lambda_i})^{\circ}) = \Biggl ( \displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda - \{\lambda_1, \cdots , \lambda_n\}} S_{\lambda} \Biggr ) \times (V_{\lambda_1})^{\circ} \times \cdots \times (V_{\lambda_n})^{\circ}$$

(*)の部分集合であり、Sの(初等)開集合である。よって(*)xの近傍である。

x_{\lambda_i}を含むS_{\lambda_i}の開集合をO_{\lambda_i}とすると、

$$x \in O_{\lambda_i} = (O_{\lambda_i})^{\circ}$$

ゆえに掲題の形の集合の全体は、xを含む開集合全体を含む。

一般にxを含む開集合全体の集合は1つの基本近傍系であることから明らかである。