特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

位相空間の族と同相写像

この記事では以下の命題を証明します。

命題

(S_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}を位相空間の族, \Lambda_1を\Lambdaの部分集合とし, \\\Lambda - \Lambda_1に属する各\muに対してそれぞれS_{\mu}の1つの元x^{0}_{\mu}を定めておく.\\ そのとき, \displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda_1} {S_{\lambda}}の各点x = (x_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda_1}に\displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda} S_{\lambda}の点x^{*} = (x^{*}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}(ただし, \lambda \in \Lambda_1に対しては\\x^{*}_{\lambda} = x_{\lambda}, \mu \in \Lambda - \Lambda_1に対してはx^{*}_{\mu} = x^{0}_{\mu})を対応させる写像は,\\ \displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda_1}S_{\lambda}から\displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda}S_{\lambda}の部分空間\displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda_1}S_{\lambda} \times \displaystyle\prod_{\mu \in \Lambda - \Lambda_1} \{x^0_{\mu}\}への同相写像である.

 証明.

命題の写像(以下fとする)が全単射であることは定義より明らかであるから、ff^{-1}が連続であることを示せばよい。

f^{-1}が連続であることを示す。ここでf^{-1}が連続であるためには、\mathfrak{M}位相空間\displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda_1} S_{\lambda}の1つの準基底とするとき、任意のM \in \mathfrak{M}に対してf(M)\displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda_1} S_{\lambda} \times \displaystyle\prod_{\mu \in \Lambda - \Lambda_1} \{x^{0}_{\mu}\}の開集合となることが必要十分条件であることに注意すると*1\displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda_1} S_{\lambda}の初等開集合O :

$$\displaystyle\bigcap_{i = 1}^{n} pr_{\lambda_i}^{-1}(O_{\lambda_i})$$

を任意にとってf(O)\displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda_1} S_{\lambda_1} \times \displaystyle\prod_{\mu \in \Lambda - \Lambda_1} \{x^{0}_{\mu}\}の開集合になればよい(基底は準基底であるという事実を用いた)。

ただし、ここで\lambda_1, \cdots , \lambda_n\Lambda_1の有限個の相異なる元。また、\mathfrak{D_{\lambda_i}}S_{\lambda_i}の開集合系とすれば、O_{\lambda_i} \in \mathfrak{D_{\lambda_i}} \ (i = 1, \cdots , n)である。

$$f(O) = f \Biggl (\displaystyle\bigcap_{i = 1}^{n} pr_{\lambda_i}^{-1}(O_{\lambda_i}) \Biggr ) = \displaystyle\bigcap_{i = 1}^{n} pr_{\lambda_i}^{-1}(O_{\lambda_i}) \times \displaystyle\prod_{\mu \in \Lambda - \Lambda_1} \{x^0_{\mu}\}$$

このとき、直積位相の定義よりpr^{-1}_{\lambda_i}(O_{\lambda_i}) \ (i = 1,\cdots,n)\displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda_1} S_{\lambda}の開集合である。また、\{x^{0}_{\mu}\}1点集合\{x^{0}_{\mu}\}の開集合である。故にO\displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda1} S_{\lambda_1} \times \displaystyle\prod_{\mu \in \Lambda - \Lambda_1} \{x^{0}_{\mu}\}の開集合である。

 

f連続写像であることも同様に示される。

 

参考文献

[1] : 『集合・位相入門』 松坂和夫

*1:[1] 第4章 §4 定理19