特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

直積空間と連続

[2018/05/27]

詰まっていた箇所が解消しました。日本語が不自由だったようです・・・。

@u_inverseさんありがとうございました。

 

この記事では以下の命題を証明します。

命題

位相空間Sから直積空間S' = \displaystyle\prod_{\lambda \in \Lambda} S_{\lambda}'への写像f:S \rightarrow S'が連続であるためには、\\すべての\lambda \in \Lambdaに対し、f_{\lambda} = pr_{\lambda} \circ f : S \rightarrow S_{\lambda}'が連続であることが必要十分である。

証明.

『fが連続 \rightarrow f_{\lambda} = pr_{\lambda} \circ f : S \rightarrow S_{\lambda}'が連続』

直積位相の定義よりpr_{\lambda}は連続であるからf_{\lambda} = pr_{\lambda} \circ f : S \rightarrow S_{\lambda}'は連続である。

『f_{\lambda} = pr_{\lambda} \circ f : S \rightarrow S_{\lambda}'が連続 \rightarrow fが連続』

 S'の初等開集合は

\displaystyle\bigcap_{i = 1}^{n} pr_{\lambda}^{-1}(O_{\lambda_i})

と表され、f^{-1} \Biggl ( \displaystyle\bigcap_{i = 1}^{n} pr_{\lambda_i}^{-1}(O_{\lambda_i}) \Biggr ) = \displaystyle\bigcap_{i = 1}^{n} f^{-1} \Biggl ( pr_{\lambda_i}^{-1}(O_{\lambda_i}) \Biggr )が成り立つことから分かる*1。ただし、\lambda_1, \cdots \lambda_n\Lambdaの有限個の相異なる元、O_{\lambda_i}S_{\lambda_i}の開集合である。

 

 

*1:位相の定義および定理19(『集合・位相入門』 松坂和夫)