特急すぺーしあ

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基底と開写像

この記事では以下の命題を証明します。

命題

位相空間(S, \mathfrak{D})から(S', \mathfrak{D}')への写像fが開写像であるためには、次の(☆)が成り立つことが必要十分である。\\ \mathfrak{D}の1つの基底\mathfrak{B}に対して $$\tag{☆} O \in \mathfrak{B} \Rightarrow f(O) \in \mathfrak{D}'$$

 証明.

fが開写像 \Rightarrow (☆)

\mathfrak{B} \in \mathfrak{D}より明らか。

 

(☆) \Rightarrow fが開写像

O \subset \mathfrak{D}を任意にとる。仮定より、

$$O = \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{W_{\lambda}}, W_{\lambda} \in \mathfrak{B}$$

が成り立つ。以上の議論と位相の定義により、

$$f(O) = f \Biggl ( \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{W_{\lambda}} \Biggr ) = \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{f(W_{\lambda})} \in \mathfrak{D}'$$

が示された。