特急すぺーしあ

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基本近傍系の性質

この記事では以下の命題を証明します。

命題

位相空間(S, \mathfrak{D})の各点xの基本近傍系をV^{*}(x)について次のことが成り立つ。\\ (1)すべてのV \in V^{*}(x)に対して,x \in V\\ (2) V_1 \in V^{*}(x),V_2 \in V^{*}(x)とすれば,V_3 \subset V_1 \cap V_2となるようなV_3 \in V^{*}(x)が存在する\\ (3) 任意のV \in V^{*}(x)に対して,次の条件を満たすW \in V^{*}(x)がある:\\ \ \quad Wの任意の点yに対してV_y \subset VとなるようなV_y \in V^{*}(y)が存在する

 証明.

(1) x \in V^{\circ}とすれば、V^{\circ} \subset Vより、x \in V

 

(2) x \in V_1^{\circ}x \in V_2^{\circ}とすれば、x \in V_1^{\circ} \cap V_2^{\circ} = (V_1 \cap V_2)^{\circ}であるから、V_1 \cap V_2 \in V(x)。基本近傍系の定義より、V_3 \subset V_1 \cap V_2を満たすV_3 \in V^{*}(x)が存在する。

 

(3) 任意のV \in V^{*}(x) \subset V(x)に対して、次の条件を満たすW' \in V(x)が存在する:

$$W'の任意の点yに対してV \in V(y)$$

基本近傍系の定義より、W \subset W'を満たすW \in V^{*}(x)が存在し、このWが題意を満たす。実際、W \subset W'より、Wの任意の点yに対してV \in V(y)が成り立ち、基本近傍系の定義より、V_y \subset Vを満たすV_y \in V^{*}(y)が存在する。