特急すぺーしあ

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同相写像の性質

この記事では以下の命題を証明します。

命題

(S, \mathfrak{D}), (S', \mathfrak{D}')を位相空間とし、それぞれS, S'と略記する。\\f:S \rightarrow S'を同相写像とするとき、Sの任意の部分集合Mについて、それぞれ、$$f(M^{\circ}) = (f(M))^{\circ}およびf(\overline{M}) = \overline{f(M)}$$が成り立つ。

 記号

M^{\circ} : Mの開核

\overline{M} : Mの閉包

 

証明.

f(M^{\circ}) = (f(M))^{\circ}のみ証明する。

まず、f(M^{\circ}) \subset (f(M))^{\circ}を示す。

$$\quad M^{\circ} \subset M \quad$$

$$f(M^{\circ}) \subset f(M)$$

$$(f(M^{\circ}))^{\circ} \subset (f(M))^{\circ}$$

ここで、fは開写像でもあるので、

$$(f(M^{\circ}))^{\circ} = f(M^{\circ})$$

よって、

$$\tag{1.1}  f(M^{\circ}) \subset (f(M))^{\circ}$$

が示された。

ここでf^{-1}S'からSへの同相写像であるから、先ほどと同じ議論により、

$$f^{-1}(M'^{\circ}) \subset (f^{-1}(M'))^{\circ} \quad (M' = f(M))$$

を得る。M'f(M)を代入して整理すれば、

$$f^{-1}( (f(M))^{\circ}) \subset (f^{-1}(f(M)))^{\circ}$$

$$f^{-1}( (f(M))^{\circ}) \subset M^{\circ}$$

$$\tag{1.2} (f(M))^{\circ} \subset f(M^{\circ})$$

(1.1), (1.2)より、f(M^{\circ}) = (f(M))^{\circ}が示された。

 

f(\overline{M}) = \overline{f(M)}も同様に示される。