特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

[tex:1 + 1 = 2]

R^nの開区間と開集合

この記事では以下の命題を証明します。

命題

開区間(a_1, b_1) \times ... \times (a_n, b_n)は\mathbb{R}^nの開集合である。

 記号

(a_1, b_1) \times ... \times (a_n, b_n) = \{x = (x_1, ... , x_n) | a_i \lt x_i \lt b_i (i = 1, ... , n) \}

B(x;\varepsilon) : x \in \mathbb{R}^nを中心、半径を\varepsilonとする開球体

 

証明.

(a_1, b_1) \times ... \times (a_n, b_n)の元x = (x_1, ... , x_n)を任意にとる。

\varepsilon = \min \{\min \{b_i - x_i \}, \min\{x_i - a_i\} \} (i = 1, ... , n)として、

\varepsilon'\varepsilonより小さくとれば、

B(x;\varepsilon') \subset (a_1, b_1) \times ... \times (a_n, b_n)である。

よって(a_1, b_1) \times ... \times (a_n, b_n)は開集合であることが示された。

 

各次元の端点への最小距離より小さい半径をとれば収まるよね、という発想でした。

同様に閉区間閉集合の場合も示すことができます。