特急すぺーしあ

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[tex:1 + 1 = 2]

Rの開区間と準基底

この記事では以下の命題を証明します。

命題

a, bを実数とする.\\(a, \infty)および(-\infty, b)の形の区間全体の集合\mathfrak{M}は\mathbb{R}の開集合系\mathfrak{D}の1つの準基底をつくる.

 記号

\mathfrak{D}(\mathfrak{M}) := \mathfrak{M}で生成される位相

 

証明.

準基底の定義より、\mathfrak{D} = \mathfrak{D}(\mathfrak{M})を示せばよい。

 

まず\mathfrak{D} \supset \mathfrak{D}(\mathfrak{M})を示す。

 \mathfrak{M}の定義より、\mathfrak{M}の任意の元Oは開集合である。

よって、O \in \mathfrak{D}であり、\mathfrak{M} \subset \mathfrak{D}

すなわち、\mathfrak{D}(\mathfrak{M})の定義*1より、\mathfrak{D}(\mathfrak{M}) \subset \mathfrak{D}が分かった。

 

次に\mathfrak{D} \subset \mathfrak{D}(\mathfrak{M})を示す。

a, b(a \lt b)を実数とすれば、(a, b)の形の区間全体の集合は\mathbb{R}の基底をなす。つまり、\mathfrak{D}の任意の元をOa_{\lambda}, b_{\lambda}は実数とすると、

O = \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{(a_{\lambda}, b_{\lambda})} = \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{( (a_{\lambda}, \infty) \cap (-\infty, b_{\lambda}) )} = \Bigl (\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{(a_{\lambda}, \infty)} \Bigl ) \cap \Bigl (\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{(-\infty , b_{\lambda})} \Bigl )

すなわち、O \in \mathfrak{M}*2。ここで、\mathfrak{D} \subset \mathfrak{M} \subset \mathfrak{D}(\mathfrak{M})であるから\mathfrak{D} \subset \mathfrak{D}(\mathfrak{M})が分かった。

 

以上より、\mathfrak{D} = \mathfrak{D}(\mathfrak{M})が示された。

*1:\mathfrak{D} \supset \mathfrak{M}であるような最弱な位相

*2:a_{\lambda}の最小値、各b_{\lambda}の最大値をとれば分かる。