特急すぺーしあ

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閉包作用子から位相が定まる

記号

S:空でない集合

MSの任意の部分集合

\mathfrak{P}(S)Sのべき集合

M^{c}Mの補集合

M^{i}Mの開核

M^{a}Mの閉包

 

この記事では以下の定理を証明します。

 

定理

Sを空でない集合とし、Sの各部分集合MにSの部分集合\bar{M}を対応させる\\\mathfrak{P}(S)から\mathfrak{P}(S)への写像a(a(M) = \bar{M})で、条件\\ (1) \bar{\phi} = \phi\\ (2) 任意のM \in \mathfrak{P}(S)に対して\bar{M} \supset M\\ (3) 任意のM, N \in \mathfrak{P}(S)に対して\bar{M \cup N} = \bar{M} \cup \bar{N}\\ (4) 任意のM \in \mathfrak{P}(S)に対して\bar{\bar{M}} = \bar{M}\\ をすべて満たすものが与えられたとする。\\そのとき、Sに1つの位相\mathfrak{D}を導入して、与えられた写像aが位相空間(S, \mathfrak{D})における閉包作用子と\\一致するようにすることができる。しかも、そのような位相\mathfrak{D}は(aに対して)一意的に定まる。

 

証明.

写像ii(M) := a(M^{c})^{c}と定めれば、iは開核作用子の公理を満たす。

実際、

i(S) = a(S^c)^c = a(\phi)^c = \phi^c = S

i(M) = a(M^c)^c \subset M

i(M \cap N) = a( (M \cap N)^c )^c = a(M^c \cup N^c)^c = (a(M^c) \cup a(N^c))^c = a(M^c)^c \cap a(N^c)^c = i(M) \cap i(N)

i(i(M)) = a(a(M^c)^{cc})^c = a(a(M^c))^c = a(M^c)^c = i(M)

である。よって、写像iを開核作用子とする位相空間(S, \mathfrak{D})が一意的に定まる*1。このとき、写像a位相空間(S, \mathfrak{D})における閉包作用子になっている。実際、

$$a(M^c)^c = M^i$$

$$a(M^c) = M^{ic}$$

$$a(M^c) = M^{ca}$$

MM^cと置き換えれば、

$$a(M) = M^{a}$$

を得る。

Q.E.D

 

*1:この事実は断りなく用いる