特急すぺーしあ

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ディリクレの近似定理と遊ぶ

定理と遊ぶシリーズ第2弾はディリクレの近似定理です。

また、今日は以下の記事を教科書として用います。

integers.hatenablog.com

下記で定理1などと言った際はすべてこの記事を指すものとします。

 

ディリクレの近似定理が保証するもの

今一度定理を眺めます。

Dirichletの定理

ωを実数とする。このとき、任意の自然数nに対して整数a, bが存在して、0 \lt a \leq nおよび $$|aω - b| \lt \dfrac{1}{n}$$ が成り立つ。

 

この定理を少し変形しましょう。両辺をaで割ると、

$$|ω - \dfrac{b}{a}| \lt \dfrac{1}{an}$$ 

a \leq nに注意すると、

$$\dfrac{1}{an} \leq \dfrac{1}{a^2}$$

なので、

$$|ω - \dfrac{b}{a}| \lt \dfrac{1}{a^2}$$ 

これはすなわち\dfrac{b}{a}ωのDirichlet近似であることにほかなりません。

Dirichletの近似定理は任意の実数にDirichlet近似の存在をも保証してくれているんですね。

 

有理数のDirichlet近似

補題と定理1での議論により、有理数\dfrac{a}{b}(a, b \in \mathbb{Z}, b \gt 0)のDirichlet近似の個数は高々2(b - 1)であることが分かります。

 

疑問

ある数にDirichlet近似が無数に存在することを示すような無理数性の証明ってあるんでしょうか。私は有理数であることを仮定して矛盾を導く論法しか知りません。

 

まとめ

・Dirichletの近似定理は任意の実数にDirichlet近似の存在を保証する(実際上記の通りより強い結果を示していますが)

有理数のDirichlet近似は有限個しかない

無理数のDirichlet近似は無限に存在する

 

余談

以前の進捗報告で書いた記事でディリクレの近似定理に触れたことを思い出して読み返してみました。すると最早訳の分からないことを書いていたたため該当部分を取消しました。本当に何を理解した気になっていたのだろう。

gelato-con-caffe.hatenablog.com