特急すぺーしあ

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無理数の無理数乗まわりのお話

この記事は

http://nadamath2012.web.fc2.com/bushi/2011_96.pdf

を読んだときのノートです。

灘高校数学研究部の部誌だそうです。どれだけ頭がいいんでしょうね・・・。私が高校二年生の頃は授業中にモンスターハンターをやっていたはずです。

メモ1

 上記の資料で証明されるのは以下の定理

定理

任意の無理数aに対してa^bが有理数になるような無理数bが存在する。

証明はさして難しくはありませんでした。 しかし、読んでいて引っかかったのが以下の部分

aが有理数の有理数乗でない時は\dfrac{\log{c}}{\log{a}}が有理数となるような有理数cは存在しない。

定理は任意の無理数aについて成り立ちます。であるならば、任意の無理数有理数有理数乗で表せるということになるのではないでしょうか。

メモ2

あとがきにある補題

が成り立つと仮定して、 任意の無理数bに対してa^b有理数になるような無理数aが必ず存在することを示します。

証明. bを任意の無理数とする。このとき補題より、 2^b, 3^b, 5^b, ...のいずれかには無理数になるものが存在する。 そのような最小の素数pc = p^bとおく。 このとき、c^{\frac{1}{b^2}}は題意を満たす無理数?(後述)である。

理由: (c^{\frac{1}{b^2}})^b = c^{\frac{1}{b}} = (p^b)^{\frac{1}{b}} = p

 

これで示せそうな雰囲気を感じたのですが、 c^{\frac{1}{b^2}}が必ず無理数であることが示せませんでした。

 

また考えます。

上記の記事を読んだ方がいらっしゃいましたらご意見などいただけたら幸いです。