特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

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重み付き相加相乗平均の不等式について

mathtrain.jp

を読んで思うところをまとめました。

あまりこの手の記事を書いていませんが、積極的に書いた方が理解の助けになるのではないでしょうか。というわけで書きます。

 

 

追記(2018/5/10)

よくよく考えれば上記の記事にはあくまで、

重みの和が1であるときに、相加相乗平均の不等式を用いて重み付き相加相乗平均の不等式を導ける、としか書いていません。

そもそも重みの和が1でないときは導けないのでしょうか。

とりあえず必要に迫られた際はJensenの不等式を用いた証明をフォローしようと思います。

とはいえ、追記2(2018/5/9)で書いた議論が成り立つか成り立たないかはとても重要なことですので、また時間を置いてから考えます。解析概論を読み返したら分かるかもしれません。

何回追記してるんだろう・・・。

 

 

追記2(2018/5/9)

上記記事の証明1は、重みの合計が1でなくても成り立つことが容易に確かめられる。

重みはw_1, w_2, ..., w_nと表し、それぞれ任意の非負実数とする。

それぞれw_1, ..., w_nに収束するn個の有理数\{z_{i,1}, z_{i,2}, ...\}(1 \leq i \leq n)を考える*1

正の整数mを任意にとると、重みがz_{1, m}, ..., z_{n, m}のときについて本定理は成り立つ

(z_{1,m}, ..., z_{n, m}はすべて有理数であることに注意)。

ここでz_{1, m}, ..., z_{n, m}の極限(m \rightarrow \infty)を考えると、それぞれw_1, ..., w_nでも成り立つと言える?

最後に?をつけましたがこれで本当に証明できているのか自信がありません。勉強不足を反省。むしろ証明できていない方が納得できます・・・。任意に近い有理数で成り立つことは分かっているけど極限を考えると無理数に収束しちゃうしな・・・。

ちょっと何言ってるか分からないですね。

重みに無理数が含まれていたときに成り立たないと仮定して矛盾が生じる、とかならすんなり受け入れられるのですが・・・。このあたり極限の定義とかがあやふやだと感じます。高木先生ごめんなさい。もう少し考えます。

 

追記(2018/5/9)

修正した証明にも誤りがあることが判明しました。
せきゅーんさんありがとうございます。

もう少し腰を据えて取り組む必要がありますので、進捗があり次第更新致します。

 

追記(2018/5/6)

重みの合計が1になるという条件を忘れていたため修正しました。

 

旧解釈

上記記事の 証明1に重みが無理数の場合、こういう解釈をしました。

重みは高数美物さんの記事同様、w_1, w_2, ..., w_nと表し、すべて無理数であるものとする。

それぞれw_1, ..., w_nに収束するn個の非負の有理数\{z_{i,1}, z_{i,2}, ...\}(1 \leq i \leq n)を考える。

正の整数mを任意にとると、重みがz_{1, m}, ..., z_{n, m}のときについて本定理は成り立つ(重みの合計が1にできるかは議論要!後ほど直します!)。

z_{1, m}, ..., z_{n, m}の極限(m \rightarrow \infty)を考えると、それぞれw_1, ..., w_nでも成り立つと言える。

 

正直アウトプットしないせいで言葉(論理も?)に違和感を感じます。

未熟でもアウトプットしていくことが大切だと思ったため書き残した次第です。

これからも「少し自信がないな」と思った点についてはどんどん書き残していきます。

おかしな点があればご指摘ください~

*1:

以下のようなイメージ。

重みw_i有理数の場合は、w_i = z_{i,1} = z_{i, 2} = ...

重みw_i無理数の場合は、\sqrt{2}を例にとると、

z_{i,1} = 1.4

z_{i,2} = 1.41

z_{i,3} = 1.414

...

すなわちz_{i,m}は小数点以下m桁まで一致する有理数

また、この数列は明らかに有界な単調増加数列なので収束します。