特急すぺーしあ

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グリーン・タオの定理を理解したい

2018/1/7 学習状況を追記

『位相・集合入門』がもうすぐ一旦の節目に到達しそうです。息抜きがてら気になったことがあるので記事にまとめます。

 

2018/5/31 学習状況を追記

 グリーン・タオの定理の定理を理解したい

 はい。したいんです。というわけで何を勉強したらいいのでしょうか。今日はそれを明らかにします。当然インテジャーズは読む必要がありますが、そもそもインテジャーズを読んでいくためにはどんな知識が必要なのでしょうか。これについては答えを得ています。

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(せきゅーんさんの質問箱より)

熱心な人もいるものですね(すっとぼけ)

大学二年までの数学とは

 そういうわけで問題は"大学二年までの数学"を明らかにすることに帰着しました。大学生ならばピンとくるのでしょうが、私は大学を出ていないためサッパリ分かりません。まず数学科大学生はどんなことを学ぶのか調べてみました。なお、以下の内容についての妥当性は一切保証しかねます。

 ちなみに京都大学の2017年度のシラバスを参考にしました。*1また、多分これは京都大学独自のものかな、と思われる講義は除外しています(偏見)。

 加えて幾何学入門という講義は除外しました。といいますのも、

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(せきゅーんさんの質問箱より)

いやぁ熱心な方ですねぇ(すっとぼけ)

そういうわけで列挙していきます。

「等間隔に並ぶ素数を追い求めて」を読むために必要な数学@私調べ

代数学
群の定義と具体例
剰余類と剰余群, 準同型定理
環, 体, 加群の基本的概念と性質
有限生成アーベル群の基本定理
群の作用とその応用

■集合・位相
集合、写像→済!
濃度→済!
二項関係(同値関係、順序関係)→済
選択公理Zorn補題→済!
距離空間→済
近傍系と連続写像→済
位相空間→済
位相とは→済
近傍系と連続写像→済
開基と基本近傍系→済
積空間(= 積位相 = 直積位相)→済
商空間
分離公理→済
コンパクト性→済
連結性→済

微分積分
・実数の性質と連続関数→済!
 集合と論理→済!
 実数の集合の上限と下限→済!
 数列の収束→済!
 関数の極限→済!
 連続関数の定義と基本的性質→済!
 初等関数→済!
・変数関数の微分→済!
 微分係数→済!
 導関数→済!
 合成関数→済!
 逆関数→済!
 高次導関数→済!
 平均値定理とその応用(増減,凹凸,極限)→済!
・変数関数の積分→済!
 不定積分→済!
 定積分→済!
 微分積分学の基本定理→済!
 広義積分→済!
 パラメータを含む積分
・無限小解析と級数
 テイラーの公式→済!
 無限小
 近似値の計算
 無限級数(収束の判定法,絶対収束と条件収束)
 整級数(収束半径,項別微積分)
・平面および空間の点集合
 距離,点列の収束,開集合,閉集合,連続関数の性質→済!
・多変数関数の微分
 偏微分係数
 全微分可能性
 接平面
 勾配ベクトル
 合成関数の微分→済!
 ヤコビ行列
 ヤコビ行列式
 陰関数
 逆写像
 テイラーの公式→済!
 極値問題
 条件付き極値問題
・多変数関数の積分
 積分と累次積分
 面積
 体積
 積分の変数変換
 広義積分

ベクトルの演算(内積外積
ベクトル場
ベクトル場の演算(勾配,回転,発散など)
スカラーポテンシャル, ベクトルポテンシャル
曲線の長さ,曲面積
積分,面積分
積分定理
ガウスの発散定理
・グリーンの公式
ストークスの定理

 

線形代数
・平面ベクトルと2次行列
 ベクトルと行列の計算
 逆行列
 ケーリー・ハミルトンの定理
 平面の一次変換(回転,折り返しなど)と行列
 連立1次方程式と行列
・数ベクトル空間と行列
 数ベクトル
 数ベクトルの演算
 一次結合
 一次独立
 行列,行列の演算(和,スカラー倍,積)
 行列の例
 行列の基本変形
 階数
 正則行列
 逆行列
 連立一次方程式の解法
 解の構造
行列式
 置換と符号
 行列式の定義と性質
 行列式の展開
 クラメルの公式
 行列式と体積
・抽象ベクトル空間
 基底
 次元
 部分空間
 線形写像
 核と像
 線形写像と行列
 基底の変換
 直和
・計量ベクトル空間
 内積
 正規直交基底
 直交化
 直交行列
 ユニタリ行列
 直交補空間
固有値と行列の対角化
 固有値固有ベクトル
 固有多項式
 固有空間
 行列の上三角化
 行列の対角化
 対称行列の直交行列による対角化
 二次形式,エルミート行列のユニタリ
 行列による対角化
 ジョルダンの標準形

以上に加えて(京都大学シラバスでは大学三年次以降対象となっていましたが)

複素関数
複素数複素平面ガウス平面)
リーマン球面
複素関数微分
 ・複素微分可能性
 ・コーシー・リーマンの方程式
 ・正則関数
べき級数(整級数
 ・収束半径
 ・べき級数による初等関数の定義
複素積分
 ・複素線積分
 ・グリーンの定理
 ・コーシーの積分定理
コーシーの積分公式と正則関数の基本的性質
 ・正則関数のべき級数展開
 ・一致の定理
 ・最大値の原理
 ・代数学の基本定理
有理型関数と留数定理
 ・ローラン展開
 ・留数定理および実関数の定積分の計算への応用
偏角の原理
ルーシェの定理
逆関数定理
調和関数
留数定理の理論的応用
有理型関数の部分分数展開と無限乗積表示
楕円関数などの特殊関数
解析接続と一価性原理
正規族とRiemann の写像定理
調和関数
リーマンゼータ関数の凸性評価
古典的非零領域

 

いかにして学ぶか

こんな感じで考えています。

・『代数学1』『代数学2』(雪江明彦)

・『集合・位相入門』(松坂和夫)集合論の範囲は理解!

・『解析概論』(高木貞治

・『線形代数入門』(齋藤正彦)→いま読んでます!

『リーマンのゼータ関数』(松本耕二)

また、上で赤字にしている項目は未だどのようにして学ぶか見通しが立っていません。また時間ができたらじっくり調べてみます。

最後に

時間があまり無いためやっつけでしたが、これいらないよ!これもいる!これで学べるなどなどありましたらどんどんつっこんでいただければ幸いです。

参考

integers.hatenablog.com

 

シラバス集(2017年度) —

 

*1:東京大学にしようかとも思ったのですが調べ方がよく分からなかったためやめました。