数論の3つの真珠を読む【その２】

こんにちは。

この記事は以下の記事の続編です。

1問目であるファン・デル・ヴェルデンの定理を理解できました。鳩ノ巣論法すごい。

次の真珠、マンの定理はより複雑らしいので心してかかりたいと思います。

この本ですが思いのほか付録*1が面白い！3つの真珠に関連した話題をたくさん取り扱っています。この付録に載っていた定理で気になるものが一つありました。証明が省略されていたため一部ではありますが証明をつけます。

$定理(リフシッツ).p \equiv 1 \pmod 4が素数のとき,q = 2p + 1が素数であることと,\\qが2^p+1を割り切ることとが同値である.$

証明.

$qが素数⇒2^p+1 \equiv 0 \pmod q$

$2^p + 1 = 2^{(q-1)/2} + 1 \equiv 0 \pmod qであるから,オイラーの規準より,$

$2^{(q-1)/2} \equiv \left(\dfrac{2}{q}\right) \pmod qが成り立つ.$

$また,q \equiv 3 \pmod 8であることに注意すると,$

$平方剰余の第二補充則より,\left(\dfrac{2}{q}\right) = -1であることが分かる.$

$よって,2^{(q-1)/2} + 1 \equiv \left(\dfrac{2}{q}\right) + 1 = 0 \pmod qが示された.$

※オイラーの規準、平方剰余の第二補充則については下記で証明を見ることができます。

問題はこの逆なんです。2時間ほど考えていたのですがまるで分かりませんでした。本書をもう一度見返すと、

ごく最近知られたものである.証明は初等的にできるが,さらに10ページほどの準備がいるので残念ながら省略する.

定番のやつですね。本当にありがとうございました。

この本の初版が2000年なので、その時期に絞ってLifschitzとかprimeとかそれっぽく調べたのですがそれと思しき文献が見つかりません。どなたかご存知でしたら教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします...。

追記(2019/3/28)

下記コメント欄にて通りすがりさんから証明を教えていただきました！ありがとうございました！

*1:付録というのが正しい表現かは怪しいです。何せ本全体の半分以上を占めるので...

特急すぺーしあ