特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

[tex:1 + 1 = 2]

今週の数活(5週目)

おはようございます。

朝起きてすぐの冷え切った部屋の中で、顔をしかめながらお届けします。寒い。

今週分はたくさん書きたいことがあります。

 

素数ゼータ関数

 チェビシェフの定理(同書では粗い素数定理)を理解しました。

integers.hatenablog.com

目標の素数定理の弱い結果を理解したことで、いよいよ近づいてきてるなーと思う反面、まだまだ習得すべき内容が多いなーとも思ってます。この部分後述します。

 また、1章を読み終わりました。残念ながら2つ分からない箇所がありました。以下に記します。

\displaystyle \int_{ 1 }^{ x } \dfrac{1-\{t\}}{t} dxの具体的な計算方法

\{t\}:=tの小数部分

 →解析概論を読み進めて再チャレンジします。

・算術級数定理の初等的考察

 →代数の知識が足りていない気がします。最小公倍多項式とか初めて聞きました。後述しますが素数定理を理解したら代数の入門書を買って再び挑みたいです。

 

解析概論

 現在は3章積分法§35.積の積分を読んでいます。上で後述しますと2回言いましたが、本書は一旦5章まで読むことに決めました。と言いますのも今はいい時代になりまして素数定理の初等的証明をWebで読むことができます。

integers.hatenablog.com

 当初は解析概論をマスターしたのち、素数ゼータ関数複素解析を用いた証明を理解しようと思っていました。しかし、解析概論を読み終えるにはまだまだ時間がかかる!理解するまでに脳死するリスクが怖い!初等的証明ならば先の記事にあるように、

実際には「四則演算、組合せ論的考察、自然対数、Landauのビッグオー」ぐらいのみで証明をまわすことができます。

 予備知識がとても少ない!(+微分積分はもちろん含まれています)最後のビッグオーが厄介で、せきゅーんさんから5章まで読むことをお勧めしますと言われたのでそうしようと思います。とにかく1分1秒でも早く素数定理に到達したい。

 当面のゴールを5章と定めたので、現在の進度を考えると半分以上を読み終えたことになります。これならば順調にいけば年内に読み終わりそうです。以下、私のプラン(もとい希望的観測)です。

・年内に解析概論を5章まで読み終える

・年末年始の休みに初等的証明を理解する

幸い年末年始は9連休くらい(なか1日出社するかも)あります。早く理解したい。感動を味わいたいです。

 

折り紙×数学

 これ行ってきました。

peatix.com

年齢層は上から下まで幅広かったです。折り紙の歴史、折り紙の数学、講師の三谷先生の研究が主な講演内容でした。また、途中の折り紙を折る時間に、自分が最高に不器用であることを再確認しました。辛い。余談ですが、大学で講義を受けているような気分になれました。同時に大学の数学科に入っていたらまず確実に途中でついていけなくなって消しゴムで遊んでそうだなと思いました。

 折り紙は関係ないのですが、先の記事を見てもらうと分かるのですが、総合企画があの中島さち子さんです。国際数学オリンピックで日本人女性で初めて金メダルを獲得、大学在学中にゼータ関数に関する本を執筆、など輝かしい経歴の持ち主です。私が初めて知ったのは、ネットである記事を読んだ時です(元の記事を探したのですが見つけられませんでした...)。その記事では、叔父を数学者に持ち、中学生の時に「数論の3つの真珠」という本をもらって夢中になって読んだ、というようなことが書いてあったように思います。あ~頭良いんだろうな~と感じました(語彙)

 話は逸れますが、同書では3問の問題を解説しています。うち1つはファン・デル・ヴェルデンの定理と言います。そう。

integers.hatenablog.com

Webで読めます。これもう折り紙関係ないですね。

 折り紙の講演が終わると何と軽食が用意されていました*1。少々出遅れましたが軽食の揚げ物をつまんでいると何と中島先生がやってきました。これは話すしかない!と思い、今度のトポロジの講演の内容を切り口に素数とゼータの話を振ってみました。パッパラパーの私にはお話ししていただいた内容が良く分かりませんでしたが、非可換の世界でのゼータ、モノイド、そして素数。魅力的なお話でした。落ち着いた雰囲気でとても素敵な方でした。折り紙の講演に匹敵する貴重な数分間でした。

 

せきゅーんオフ会

 楽しい時間でした。すべてを書くと大変な分量になってしまうので大分端折ります。先週のこちらの記事で、

gelato-con-caffe.hatenablog.com

せきゅーんさんに聞いてみたいことを挙げました。ちゃんと聞きましたよ。ええ。

しかし残念ながらオフレコの内容が含まれるためここに書くことはできません。こういうお話が聞けるっていいですね(恍惚)

 また、以前せきゅーんさんがTwitterでコーシーの積分定理が好きだと仰っていました。それをふと思い出して聞いてみたのです。まとめますと主張も証明も非常に美しいからだそうです。シンプルですね(笑)。解析概論では完全な証明が与えられているそうなので、素数定理を理解したのちに必ずや理解したいです。*2

 余談ですが、いつもお世話になっているせきゅーんさんに何かプレゼントを用意しようと兼ねてより決めていました。当初は(広義の)数学者であるせきゅーんさんに何をあげたらいいものか迷っていました。何か面白い性質を持った素数でも見つけて教えてあげたらいいのか、などとよく分からないことを考えたのち渋谷ヒカリエでお菓子を買うに至りました。お口に合えば幸いです。

 最後に、せきゅーんさんから解析概論にサインしていただきました!

 

まとめ

 大事なことなのでもう一度書きます。

・年内に解析概論を5章まで読み終える

・年末年始の休みに素数定理の初等的証明を理解する

これを目標に頑張ります。今日はサイエンスアゴラでせきゅーんさんや辻さんの発表を聞きたいところですが、素数定理を理解せずに脳死するリスクが怖いため、解析概論に集中します・・・。来月の中島さんのトポロジの講演も行けないな・・・。今日はここまで。

*1:席につくとミネラルウォーターもありました!しかも無料!まさに至れり尽くせり!食うに困ったら数学セミナーに行こう!(冗談です)

*2:コーシーの積分定理はしばしば導関数が連続であるという仮定の下、グリーンの定理を用いて証明されるそうです。しかし先の仮定抜きの証明が与えられているため完全な証明ではないそうです。