特急すぺーしあ

数学が好きです。記載内容に間違い等がありましたらTwitter、コメント欄のどちらでも構いませんのでご連絡いただければ幸いです。

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今週の数活(1週目)

 相変わらず解析概論を読む毎日ですが節目節目で有意義な脱線をしています。具体的には一定の知識を蓄えた所で私的未解決問題に挑戦しています。今週挑戦し何とか理解するに至った問題を振り返っていきたいと思います。

 

1.バーゼル問題

 これは何で見聞きしたかは忘れましたが私的未解決問題リストには大分早い段階から存在したように思います。Texの練習も兼ねて今一度命題を書いてみましょう。

\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... = \frac{\pi^{2}}{6} 

 いつも見ても素晴らしいですね。そしてこの式が成り立つことを検証できたという事実を思い出すと、それだけで良い日が過ごせそうです。

 さて、この素晴らしい定理は以下のサイトで理解することができました。

青空学園数学科:http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/node45.html

ただ、先のサイト内でド・モアブルの定理が用いられているのですが、導出方法をまだ理解していません。(成り立つこと自体は加法定理用いて用意に確認できる)

これは解析概論を読み進めていく内に通る道だと思います。また、同サイトを読み進めるなかで、解と係数の関係についての知識を補完しました。

mathtrain.jp

高校生の頃に授業で習った覚えはありません・・・。インテジャーズさんに次いでお世話になっている素晴らしいサイトです。

 

2.素数の逆数和は発散する

 これは先月のMathPowerでのせきゅーんさんの講演で「知りたい!」と思って追加しました。この事実単体では、「そりゃ無限にあるしな」と思うかもしれませんが、何と自然数全体の中で素数の密度は零なのだそうです。

integers.hatenablog.com

無限にあるのに全然ない!講演時にせきゅーんさんはそう仰っていたと記憶しています。これも言わずもがな私的未解決問題リストに追加されています。また、「素数ゼータ関数」でも扱っていました。解析概論を読み終えたのちに挑戦するか、「素数ゼータ関数」を読むまで待つか、非常に悩ましい所です。

 さて、本題から少し逸れましたが命題を書いてみましょう。

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... = \infty 

調和級数も発散し、素数の逆数和もまた発散するのです。こちらも言うまでもなく、

integers.hatenablog.com

インテジャーズさんです。こちらの第一証明で理解しました。第一証明はバーゼル問題を踏まえた組み立てになっていたため、昔倒したやつが味方になった感じがして、論理を追っている間はすごく楽しかったです。

 

3.eが超越数であること

 これはこの記事を書く30分ほど前に理解することができました。参考文献は言わずもがな、

integers.hatenablog.com

インテジャーズさんです。私の参考文献の大半はインテジャーズさんなので最早今後省略しようと思います。本当にいつも感謝しております。

 さて、eが超越数であることを知ったのは今から半年ほど前でした。私が初めて読んだ数学書*1である「はじめての数論」の超越数の章の練習問題(!)で知りました。今後も何度か言うような気がしますが、この本の練習問題には解答が無く、中には未解決問題までもが含まれているそうです。酷い話ですね。

 これについては先に紹介した2つの定理より、理解するうえで(個人的に)補完すべき内容が多かったため、それを備忘録として記しておきます。

補題

 ・(\mathrm{e}^{-x})' = -e^{-x}(合成関数の微分)

 ・f(x)のn+1次導関数は0であることに注意

 ・c_{0}F(0)はpで割れず,c_{k}F(k)はpで割れる.

最後の不等式①

 ・定義にかえれ

最後の不等式②

 ・最後の不等式①の右辺のnの指数部:np + p - 1

 ・最後の不等式②の右辺のnの指数部:n + (n + 1)(p - 1) = np + p - 1

 

以上です。こうして見ると自分にしてはすごい成果だと思います(笑)

 また、解析概論の進捗ですが、今週は偏微分にだいぶ苦しめられましたが何とか2章(微分法)を読み終えることができそうです。読み終えたのち、1章~2章の復習&適宜質問をして更に理解度を上げてから3章(積分法)に入りたいと思います。

 

以下、ただの日記です。

 

 私事ですが、現在親戚の体調が思わしくなく、余命いくばくも無い状態です。本人の性格なのか、あれがしたい、これがしたい、と口に出すような人ではありませんでした。実家の両親から病床に臥している親戚の話を聞くと、「何かやりたいことはなかったのだろうか」などと思いを馳せてしまいます。それと同時に素数定理やグリーン・タオの定理を理解するまで死にたくない!と思うようになりました。という訳で寄り道しつつも最短で(矛盾)素数定理に向かっていきたいです。

*1:人によってはただの読み物だそうな...